Lineární algebra I - 11. 1. 2013 (Sgall)

Skupina A, 90 min na vypracování

Skupina A

1. Definujte pojem hodnosti matice a bez důkazů uveďte vše, co o něm víte

2. Zformulujte a dokažte větu o rozšíření zobrazení báze na lineární zobrazení celého prostoru

3. Rozhodněte, zda platí, a zdůvodněte:
   a) Pro každý vektorový prostor dimenze 3 existuje čtveřice {a,b,c,d} tak že {a,b,c} je báze a každá jiná trojice prvků této čtveřice bází není.
   b) Pro každé těleso T platí: (1,0,1,0) (0,1,1,1) (1,1,0,1) jsou v T^4 lin. nezávislé. (Možná byly vektory trochu jinak, každopádně princip byl to sečíst v Z_2 na nulový vektor.)
   c) Pro každou matici A hodnosti 2 existuje matice B tak že A*B má hodnost 3.
   d) Mějme vektorový prostor V polynomů stupně nejvýše 2 a lineární zobrazení f:V->V. Je pravda, že pro všechna f, kde f(x)=-1, platí f(x^2)=1?

4. Pro zadanou matici rozměrů 4*6 určete počet řešení v Z_5

5. Součin tří reálných matic - sloupcového vektoru [3ř.], řádkového vektoru [3s.] a regulární matice rozměru 3*3, určit hodnost.

6. V Z_3^3 bylo pro nějakou bázi předepsáno zobrazení do téhož prostoru. Určit matici lineárního zobrazení f z kanonické do kanonické báze a určit, zda je tato matice regulární.

Zadání B
1)Definujte lineární obal + vše co o něm víte (bez důkazů)
2)Zformulujte a dokažte rovnost dimenze řádkového a sloupcového prostoru
3) Test ano/ne, odpovědi zdůvodněte a dokažte:
a) ??? na to si nemohu vzpomenout, ale bylo to lehké
b) Matice 4x4 je tvořena pouze neutrálními prvky vůči sčítání a násobení (tzn 0,1). Platí pro každou takovou matici, že má stejný rank v Z_3 a v R.
c) Dvě matice s rankem 2 mohou mít v součtu rank 3
d) V má dimenzi 5. U,W jsou podprostory V a mají dimenze 3 a 4. Může mít průnik U a W dimenzi 1 ?

4. Najděte inverze v R

5. Je zadána matice A a vektor v (Z_5 myslim). Napište bázi řádkového prostoru A obsahující vektor v.

6. Napsat matici přechodu od báze X k Y v Z_3

Jinak test v pohodové atmosféře, prof. Sgall nevyžaduje žádný dresscode. V předtermínu rozdával pouze jedničky a dvojky, ale za tu cenu, že se tento pokus nepočítal. Na získání známky bylo potřeba správně odpovědět na otázky 1-3, zbylé (praktické) nebyly tak důležité ;) hodně štěstí